Правило Лопиталя или правило Бернулли?

Любой студент вуза, в котором изучается математика, должен знать имя Лопиталя и его знаменитые правила для вычисления пределов вида

при условии, что этот предел существует. Сказанное может показаться сложноватым для непосвященных, однако математическая запись этого достаточно проста:

при условиях, о которых написано выше.

Это правило названо в честь французского математика, жившего в XVII веке, Франсуа Гийома Антуана, маркиза де Лопиталя (1661–1704), который в 1692 году написал Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), первую книгу по дифференциальному исчислению. Книга состоит из десяти разделов, и девятый, в частности, включает в себя результат, в настоящее время известный как правило Лопиталя.

Работа в свое время имела большой успех, и несколько раз переиздавалсь в восемнадцатом веке. Во введении автор признает свой долг перед Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли, так как “Я свободно использовал их открытия”. Лопиталь утверждает, что роль Лейбница в анализе близка к роли Ньютона, но он предпочитает первого, “поскольку его изложение более простое и прямое”. О Бернулли, однако, он ничего не добавляет, кроме как то, что он является профессором в Гронингене.

Так кто же был Иоганн Бернулли и почему маркиз де Лопитал был в долгу перед ним?

В одной из своих поездок в Париж Иоганн Бернулли познакомился с маркизом де Лопиталем, который был в то время одним из наиболее выдающихся французских математиков. Лопиталь был поражен талантом молодого Бернулли и его мастерством владения дифференциальным и интегральным исчислением, созданным Лейбницем. Сознавая свое незнание, Лопиталь нанял Иоганна за приличное вознаграждение, чтобы тот научил его тайнам нового исчисления. Когда Иоганн был вынужден вернуться в Базель, он обещал никому не говорить о занятиях, которые продолжались по переписке.

Иоганн воспользовался возможностью, чтобы скопировать письма, поскольку у него возникла идея подготовить курс анализа. Но ученик опередил учителя. Используя уроки Иоганна, Лопиталь опубликовал в 1696 году первую работу по дифференциальному исчислению “Analyse des infiniment petits, pour l’intelligence des lignes courbes” (“Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий”).

Хотя ответ Бернулли не сохранился, понятно, что он согласился на сделку (что неудивительно, если учесть, что Иоганну тогда было всего 24 года, и он и был безработным). В последующих письмах Бернулли отвечал маркизу на его вопросы. Одно из них содержит правило Лопиталя. Кроме того, примеры, приведенные Бернулли, практически идентичны тем, которые включены в работу, изданную позднее маркизом. Но мы должны также признать, что Лопиталь исправил некоторые ошибки, совершенные Бернулли, например, Бернулли считал конечным интеграл от

Иоганн Бернулли умер в возрасте 80 лет. В его большое математическое наследие очень немногие включают то, что сегодня мы называем правилом Лопиталя.

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Любой студент вуза, в котором изучается математика, должен знать имя Лопиталя и его знаменитые правила для вычисления пределов вида . В частности, правило Лопиталя гласит, что для двух данных функций и , непрерывных и дифференцируемых в точке , таких, что , предел при , стремящемся к , отношения равен пределу при отношения производных

Это правило названо в честь французского математика, жившего в XVII веке, Франсуа Гийома Антуана, маркиза де Лопиталя (1661–1704), который в 1692 году написал Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes (1696), первую книгу по дифференциальному исчислению. Книга состоит из десяти разделов, и девятый, в частности, включает в себя результат, в настоящее время известный как правило Лопиталя.

Иоганн Бернулли

Вопреки мнению отца, десятый ребенок в семье Бернулли, Иоганн изучал медицину в университете Базеля. В то же время ему тайно давал уроки математики его старший брат Якоб, с которым он вскоре сравнялся в знаниях. В 1691 году он принял участие в своей первой математической дуэли, решении задачи о выводе уравнения цепной линии, поставленной Якобом. Молодой Иоганн решил задачу быстро и потряс своих современников.

Иоганн молчал, как и обещал маркизу, и не требовал признания своего авторства. Но в частном порядке он посетовал, что открытия Лопиталя являются наглым плагиатом. В письме к Лейбницу в 1698 году Бернулли заявил, что “за исключением нескольких страниц, все остальное он получил от меня в письменной форме [. ] Его главное достоинство в том, что он все упорядочил и аккуратно изложил по-французски то, что я беспорядочно писал для него, частично на французском языке и частично на латыни”. Только после смерти маркиза в 1704 году Бернулли несколько возместил утраченное, опубликовав многие свои результаты, в частности, и правило Лопиталя.

Но Иоганну повредила его репутация смутьяна. Он ожесточенно соперничал со своим братом и учителем Якобом, и с собственным сыном Даниилом, которого он тоже учил. Он также активно участвовал в полемике Ньютона и Лейбница, связанной с приоритетом открытия дифференциального исчисления, он был на стороне Лейбница. В отличие от Иоганна, репутация маркиза была безупречна. Претензии Иоганна не привели ни к чему и вскоре были забыты.

Потерянная переписка

Первые признаки того, что претензии Иоганна могут быть справедливыми, появились в 1922 году, когда в библиотеке Базеля нашли экземпляр курса Иоганна Cálculo diferencial (“Дифференциальное исчисление”), который никогда не публиковался. Если сравнить его с книгой Лопиталя, ясно, что по сути это одно и то же.

Но определенность появилась в 1955 году, когда обнаружилась первая переписка между Иоганном и Лопиталем. Затем открылось необычное предложение, которое маркиз де Лопиталя сделал Иоганну Бернулли в письме от 17 марта 1694 года.

“Я Вам с удовольствием предоставлю содержание в 300 ливров, начиная с 01 января этого года и пришлю Вам 200 ливров за первую часть года, за обзоры, которые Вы отправили, и дам еще 150 ливров за вторую половину этого года, так будет и дальше. Я обещаю, что эти суммы в ближайшее время увеличатся, так как я понимаю, что они скромные, и я это сделаю, как только мои дела прояснятся… Я не так неразумен, чтобы претендовать на все Ваше время, но я прошу уделять мне время от времени несколько часов, чтобы ответить на мои вопросы, и чтобы сообщить мне о своих открытиях с условием не рассказывать о них другим. Также сообщаю, что не буду посылать Вариньону или другим копии этих записей, поскольку мне это не нравится. Ответьте мне на это”.

Хотя ответ Бернулли не сохранился, понятно, что он согласился на сделку (что неудивительно, если учесть, что Иоганну тогда было всего 24 года, и он и был безработным). В последующих письмах Бернулли отвечал маркизу на его вопросы. Одно из них содержит правило Лопиталя. Кроме того, примеры, приведенные Бернулли, практически идентичны тем, которые включены в работу, изданную позднее маркизом. Но мы должны также признать, что Лопиталь исправил некоторые ошибки, совершенные Бернулли, например, Бернулли считал конечным интеграл от .

Закон Бернулли. Просто и доходчиво

Очень многое из окружающего нас мира подчиняется законам физики. Этому не стоит удивляться, ведь термин «физика» происходит от греческого слова, в переводе означающего «природа». И одним из таких законов, постоянно работающих вокруг нас, является закон Бернулли.

Сам по себе закон выступает как следствие принципа сохранения энергии. Такая его трактовка позволяет придать новое понимание многим ранее хорошо известным явлениям. Для понимания сути закона просто достаточно вспомнить протекающий ручеек. Вот он течет, бежит между камней, веток и корней. В каких-то местах делается шире, где-то уже. Можно заметить, что там, где ручеек шире, вода течет медленнее, где уже, вода течет быстрее. Вот это и есть принцип Бернулли, который устанавливает зависимость между давлением в потоке жидкости и скоростью движения такого потока.

Правда, учебники физики его формулируют несколько по-другому, и имеет он отношение к гидродинамике, а не к протекающему ручью. В достаточно популярном виде закон Бернулли можно изложить в таком варианте – давление жидкости, протекающей в трубе, выше там, где скорость ее движения меньше, и наоборот: там, где скорость больше, давление меньше.

Для подтверждения достаточно провести простейший опыт. Надо взять лист бумаги и подуть вдоль него. Бумага поднимется вверх, в ту сторону, вдоль которой проходит поток воздуха.

Все очень просто. Как говорит закон Бернулли, там, где скорость выше, давление меньше. Значит, вдоль поверхности листа, где проходит поток воздуха, давление меньше, а снизу листа, где потока воздуха нет, давление больше. Вот лист и поднимается в ту сторону, где давление меньше, т.е. туда, где проходит поток воздуха.

Описанный эффект находит широкое применение в быту и в технике. Как пример можно рассмотреть краскопульт или аэрограф. В них используются две трубки, одна большего сечения, другая меньшего. Та, которая большего диаметра, присоединена к емкости с краской, по той, что меньшего сечения, проходит с большой скоростью воздух. Благодаря возникающей разности давлений краска попадает в поток воздуха и переносится этим потоком на поверхность, которая должна быть окрашена.

По этому же принципу может работать и насос. Фактически то, что описано выше, и есть насос.

Не менее интересно выглядит закон Бернулли в применении для осушения болот. Как всегда, все очень просто. Заболоченная местность соединяется канавами с рекой. Течение в реке есть, в болоте нет. Опять возникает разность давлений, и река начинает высасывать воду из заболоченной местности. Происходит в чистом виде демонстрация работы закона физики.

Воздействие этого эффекта может носить и разрушительный характер. Например, если два корабля пройдут близко друг от друга, то скорость движения воды между ними будет выше, чем с другой стороны. В результате возникнет дополнительная сила, которая притянет корабли друг к другу, и катастрофа будет неизбежна.

Можно все сказанное изложить в виде формул, но уравнения Бернулли писать совсем не обязательно для понимания физической сути этого явления.

Для лучшего понимания приведем еще один пример использования описываемого закона. Все представляют себе ракету. В специальной камере происходит сгорание топлива, и образуется реактивная струя. Для ее ускорения используется специально суженный участок – сопло. Здесь происходит ускорение струи газов и вследствие этого — рост реактивной тяги.

Существует еще множество различных вариантов использования закона Бернулли в технике, но все их рассмотреть в рамках настоящей статьи просто невозможно.

Итак, сформулирован закон Бернулли, дано объяснение физической сущности происходящих процессов, на примерах из природы и техники показаны возможные варианты применения этого закона.

MATHS HELPER

Образовательный сайт

Пусть при $x\to a$ функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ обе бесконечно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отношение не определено в точке $x=a$ , и в этом случае говорят, что оно представляет собой неопределенность типа $\left[\frac<0><0>\right]$ или $\left[\frac<\infty><\infty>\right]$ соответственно. Это отношение может иметь конечный или бесконечный предел в точке $x=a$ . Нахождение этого предела называется раскрытием неопределенности.

t_E1_p217_1
Теорема (Теорема Лопиталя-Бернулли.)
Пусть в некоторой окрестности $P$ точки $x=a$ функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы всюду, кроме, может быть, самой точки $x=a$ , и пусть $g'(x)\neq0$ на $P$ . Если функции $f(x)$ и $\varphi(x)$ являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при $x\to a$ и при этом существует предел отношения $\frac<\varphi'(x)>$ их производных при $x\to a$ , то тогда существует также и предел отношения $\frac$ самих функций, причем

Правило (1) применимо и в случае, когда $a=\infty$ .

m_KR_p156_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа $\left[\frac<0><0>\right]$ и $\left[\frac<\infty><\infty>\right]$ .)
В силу теоремы (1) существует общий способ нахождения предела отношений двух функций, основанный на равенстве
$$\lim\limits_\frac=\lim\limits_\frac.$$
Этот способ называется правилом Лопиталя.
Если для производных $f'(x)$ и $g'(x)$ выполняются условия теоремы (1), то правило Лопиталя можно применять повторно:
$$\lim\limits_\frac=\lim\limits_\frac=\lim\limits_\frac.$$
При этом на каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приемами вычисления пределов.

Пример
Найти $$\lim\limits_\frac<\tan x-\sin x>.$$
Используем формулу (1): $$\lim\limits_\frac<\tan x-\sin x>=\lim\limits_\frac<\frac<1><\cos^2x>-\cos x><3x^2>=\frac<1><3>\lim\limits_\frac<1-\cos^3x>.$$
Освободим знаменатель дроби от множителя $\cos^2x$ , поскольку он имеет предел $1$ при $x\to0$ . Развернем стоящую в числителе разность кубов и освободим числитель от сомножителя $(1+\cos x+\cos^2x)$ , имеющего предел $3$ при $x\to0$ . После этих упрощений получаем $$\lim\limits_\frac<\tan x-\sin x>=\lim\limits_\frac<1-\cos x>.$$
Применим снова формулу (1): $$\lim\limits_\frac<\tan x-\sin x>=\lim\limits_\frac<1-\cos x>=\lim\limits_\frac<\sin x><2x>.$$
Используя первый замечательный предел, получаем окончательный ответ $\frac<1><2>$ , уже не прибегая к правилу Лопиталя.

m_E1_p219_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности типа $\left[0\cdot\infty\right]$ .)
Для вычисления $\lim\limits_f(x)g(x)$ , где $f(x)$ — бесконечно малая, а $g(x)$ — бесконечно большая функции при $x\to a$ , следует преобразовать произведение к виду $\frac<1/g(x)>$ (неопределенность типа $\left[\frac<0><0>\right]$ ) или к виду $\frac<1/f(x)>$ (неопределенность типа $\left[\frac<\infty><\infty>\right]$ ) и далее использовать правило Лопиталя.

m_E1_p220_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности типа $\left[\infty-\infty\right]$ .)
Для вычисления $\lim\limits_(f(x)-g(x))$ , где $f(x)$ и $g(x)$ — бесконечно большие функции при $x\to a$ , следует преобразовать разность к виду $f(x)\left(1-\frac\right)$ , затем раскрыть неопределенность $\frac$ типа $\left[\frac<\infty><\infty>\right]$ . Если $\lim\limits_\frac\neq1$ , то $\lim\limits_(f(x)-\varphi(x))=\infty$ . Если же $\lim\limits_\frac<\varphi(x)>=1$ , то получаем неопределенность типа $[\infty\cdot0]$ , рассмотренную ранее.

m_E1_p221_1
Метод (Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей типа $\left[0^0\right]$ , $\left[\infty^0\right]$ , $\left[1^\infty\right]$ .)
Во всех трех случаях имеется в виду вычисление предела выражения $\left(f(x)\right)^$ , где $f(x)$ есть в первом случае бесконечно малая, во втором случае — бесконечно большая, в третьем случае — функция, имеющая предел равный единице. Функция же $g(x)$ в первых двух случаях является бесконечно малой, а в третьем случае — бесконечно большой.
Логарифмируя выражение $\left(f(x)\right)^$ , получим равенство
$$\ln y=g(x)\ln f(x).$$
Найдем предел $\ln y$ , после чего найдем предел $y$ . Во всех трех случаях $\ln y$ является неопределенностью типа $[0\cdot\infty]$ , метод раскрытия которой изложен ранее.

Пример
Найти $$\lim\limits_\left(1+\frac<1>\right)^<2x>.$$
Введем обозначение $y=\left(1+\frac<1>\right)^<2x>$ . Тогда $\ln y=2x\ln\left(1+\frac<1>\right)$ является неопределенностью $[\infty\cdot0]$ . Преобразуя выражение $\ln y$ к виду $\ln y=2\frac<\ln\left(1+\frac<1>\right)><1/x>$ , находим по правилу Лопиталя $$\lim\limits_\ln y=2\lim\limits_\frac<\frac<1><1+\frac<1>>\left(-\frac<1>\right)><-\frac<1>>=2\lim\limits_\frac<1><1+\frac<1>>=2.$$
Следовательно, $$\lim\limits_y=\lim\limits_\left(1+\frac<1>\right)^<2x>=e^2.$$

Правило Лопиталя для чайников: определение, примеры решения, формулы

Мы уже начали разбираться с пределами и их решением. Продолжим по горячим следам и разберемся с решением пределов по правилу Лопиталя. Этому простому правилу по силам помочь Вам выбраться из коварных и сложных ловушек, которые преподаватели так любят использовать в примерах на контрольных по высшей математике и матанализу. Решение правилом Лопиталя – простое и быстрое. Главное – уметь дифференцировать.

Правило Лопиталя: история и определение

На самом деле это не совсем правило Лопиталя, а правило Лопиталя-Бернулли. Сформулировал его швейцарский математик Иоганн Бернулли, а француз Гийом Лопиталь впервые опубликовал в своем учебнике бесконечно малых в славном 1696 году. Представляете, как людям приходилось решать пределы с раскрытием неопределенностей до того, как это случилось? Мы – нет.

Кстати, о том, какой вклад внес в науку сын Иоганна Бернулли, читайте в статье про течение жидкостей и уравнение Бернулли.

Пределы

Прежде чем приступать к разбору правила Лопиталя, рекомендуем прочитать вводную статью про пределы в математике и методы их решений. Часто в заданиях встречается формулировка: найти предел, не используя правило Лопиталя. О приемах, которые помогут Вам в этом, также читайте в нашей статье.

Если имеешь дело с пределами дроби двух функций, будь готов: скоро встретишься с неопределенностью вида 0/0 или бесконечность/бесконечность. Как это понимать? В числителе и знаменателе выражения стремятся к нулю или бесконечности. Что делать с таким пределом, на первый взгляд – совершенно непонятно. Однако если применить правило Лопиталя и немного подумать, все становится на свои места.

Но сформулируем правило Лопиталя-Бернулли. Если быть совершенно точными, оно выражается теоремой. Правило Лопиталя, определение:

Если две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х стремящемся к а существует предел отношения самих функций, равный пределу отношения производных.

Запишем формулу, и все сразу станет проще. Правило Лопиталя, формула:

Так как нас интересует практическая сторона вопроса, не будем приводить здесь доказательство этой теоремы. Вам придется или поверить нам на слово, или найти его в любом учебнике по математическому анализу и убедится, что теорема верна.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

В раскрытии каких неопределенностей может помочь правило Лопиталя? Ранее мы говорили в основном о неопределенности 0/0. Однако это далеко не единственная неопределенность, с которой можно встретиться. Вот другие виды неопределенностей:

Рассмотрим преобразования, с помощью которых можно привести эти неопределенности к виду 0/0 или бесконечность/бесконечность. После преобразования можно будет применять правило Лопиталя-Бернулли и щелкать примеры как орешки.

Неопределенности

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность сводится к неопределенность вида 0/0 простым преобразованием:

Пусть есть произведение двух функций, одна из которых первая стремиться к нулю, а вторая – к бесконечности. Применяем преобразование, и произведение нуля и бесконечности превращается в неопределенность 0/0:

Для нахождения пределов с неопределенностями типа бесконечность минус бесконечность используем следующее преобразование, приводящее к неопределенности 0/0:

Для того чтобы пользоваться правилом Лопиталя, нужно уметь брать производные. Приведем ниже таблицу производных элементарных функций, которой Вы сможете пользоваться при решении примеров, а также правила вычисления производных сложных функций:

Таблица производных

Теперь перейдем к примерам.

Найти предел по правилу Лопиталя:

Вычислить с использованием правила Лопиталя:

Важный момент! Если предел вторых и последующих производных функций существует при х стремящемся к а, то правило Лопиталя можно применять несколько раз.

Найдем предел (n – натуральное число). Для этого применим правило Лопиталя n раз:

Желаем удачи в освоении математического анализа. А если Вам понадобится найти предел используя правило Лопиталя, написать реферат по правилу Лопиталя, вычислить корни дифференциального уравнения или даже рассчитать тензор инерции тела, обращайтесь к нашим авторам. Они с радостью помогут разобраться в тонкостях решения.

Правило бернулли

  • ЖАНРЫ
  • АВТОРЫ
  • КНИГИ 549 341
  • СЕРИИ
  • ПОЛЬЗОВАТЕЛИ 483 795

Значение семьи Бернулли

Самыми важными достижениями Бернулли считаются использование полярных координат, углубленное изучение лемнискаты и логарифмической спирали, решение различных задач по теории вероятностей и рядов, знаменитая задача по гидродинамике, названная их именем, и правило Бернулли — Лопиталя. Математический анализ получил огромное развитие именно благодаря этой семье и, усилиями Иоганна, стал любимой дисциплиной Эйлера.

Гравюра 1784 года, изображающая Иоганна и Якоба Бернулли, занятых решением геометрических задач.

ИОГАНН БЕРНУЛЛИ, АНАЛИЗ И БРАХИСТОХРОНА

Иоганн Бернулли оказал решающее влияние на образование и научные интересы Эйлера, а о важности его роли в науке стоит поговорить отдельно. Он был выдающимся математиком, возможно самым ярким из всей семьи, но его отец желал, чтобы тот стал торговцем, а затем врачом. В конце концов Иоганн посвятил себя математике, как и старший брат Якоб, всегда оказывавший ему поддержку, хотя их отношения периодически омрачались соперничеством и ссорами.

Иоганн был довольно самонадеян, часто оказывался в центре споров и дискуссий, в том числе и с членами своей семьи. Сделав открытие, он всегда претендовал на первенство, несмотря на то что другие сделали такое же открытие раньше него. Иоганна даже обвиняли в том, что он лгал, выдавая чужие открытия за свои.

Он был не только великим математиком, но и настоящим кладом для историков, которые благодаря ему смогли узнать множество анекдотов, например о случае с маркизом де Ло- питалем (1661-1704), богатым аристократом и великолепным математиком. Лопиталь заключил с Бернулли необычный интеллектуально-экономический договор: за плату маркиз получал право доступа к открытиям Иоганна и мог выдавать их за свои. Фундаментальные для математического анализа инструменты, такие как правило Лопиталя — Бернулли, увидели свет под именем маркиза, хотя на самом деле были открыты Иоганном. Великолепная книга маркиза де Лопиталя «Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий» была встречена читателями с восторгом, но сегодня мы знаем, что авторство он должен разделить с Бернулли. После смерти маркиза Иоганн предъявил права на все, что на самом деле было открыто им, но прошло некоторое время, прежде чем ему поверили.

В июне 1696 года, еще до рождения Эйлера, на страницах первого научного журнала в истории Acta emditorum («Деяния ученых»), издаваемого в Лейпциге, Иоганн Бернулли бросил вызов своим коллегам: на основе заданных точек А и В, где А находится на высоте, отличной от В, найти траекторию, которую опишет тело, двигаясь от одной точки к другой под действием только силы притяжения. Разумеется, у самого Иоганна уже было решение (которое, как выяснилось позже, было не совсем верным), и он просто хотел проверить своих коллег и в особенности брата Якоба. В мае 1697 года в Acta eruditorum были опубликованы правильные результаты, в которых искомой кривой признавалась циклоида с началом в точке А и максимумом в В (см. рисунок).

Циклоида — это кривая, описанная точкой на окружности, которая катится по прямой.

Среди знаменитых ученых, нашедших правильное решение, были Лейбниц и Якоб Бернулли. Превосходное, но анонимное решение пришло из Лондонского Королевского общества. Прочитав его, Иоганн понял, что за ним стоял гениальный Ньютон. Считается, что он сказал фразу «лев узнается по своим когтям», которая стала популярной как аллегорическая похвала английскому ученому.

Как мы уже видели, циклоида — это кривая, которая в определенном случае может быть названа брахистохроной (от греческого «брахистос» — «самый короткий» и «хронос» — «время»). Все вышеперечисленные события вошли в историю математики как задача о брахистохроне. Много лет спустя Эйлер также обратился к циклоиде и брахистохроне, занимаясь вариационным исчислением — сильнейшим методом, созданным им вместе с Жозефом Луи Лагранжем (1736-1813) и оказавшим огромное влияние на развитие механики.

Иоганн Бернулли пытался убедить Пауля, что будущее его сына заключается не в сане священника и не в теологии, а в математике. Эйлер подавал огромные надежды.

В 1726 году, в возрасте 19 лет, Эйлер уже был доктором наук. Его диссертация — назовем эту работу современным термином — была посвящена распространению звука и называлась Dissettatio physico de sono («Диссертация по физике о звуке»). Научным руководителем юноши был Иоганн Бернулли. Эта работа могла обеспечить Эйлеру оставшуюся свободной кафедру в Базельском университете, но это было маловероятно, учитывая его юный возраст. Как и следовало ожидать, должности он не получил.

В 1727 году Эйлер принял участие в Grand Prix Парижской академии наук, предложив решение задачи о том, где лучше всего размещать мачты на корабле. Нельзя не увидеть в этом иронию судьбы: конкурс, посвященный навигации, собирался выиграть «сухопутный» Эйлер. Как пишет биограф Эйлера Эмиль Фельман, самой большой массой воды, которую тот видел в своей жизни, был Рейн, поэтому, как и большая часть населения Швейцарии, юноша был чрезвычайно далек от вопросов навигации. Так или иначе, Эйлер принял участие в конкурсе и, хоть и не выиграл его, получил медаль с отличием и приобрел известность в научном сообществе. Победителем стал Пьер Бугер, ординарный профессор 28 лет и непревзойденный специалист по гидродинамике. Юный Эйлер, изучив работы Вариньона, Галилея, Декарта, Ньютона, Ван Схотена, Германа, Тейлора, Валлиса и Якоба Бернулли, начинал демонстрировать первые проблески своего гения.

Якоб Бернулли, как истинный геометр, был поражен характеристиками и видом логарифмической спирали, этой винтообразной кривой, упрощенное уравнение которой в полярной системе координат выглядит так: r = а α , где радиус r экспоненциально зависит от угла α. Ее называют spira mirabilis (удивительная спираль). Очарование Бернулли этой спиралью дошло до того, что он подал официальное прошение о том, чтобы она была высечена на его могиле вместе со словами Eadem mutata resurgo (измененная, я вновь воскресаю). Сказано — сделано. Однако Бернулли не принял в расчет скульптора, делавшего надгробие. Вместо логарифмической спирали тот высек архимедову спираль, поскольку для мраморных дел мастера все они были одинаковы. Зная, каким вспыльчивым характером обладает младший брат Якоба, которому тот передал свою страсть к этой спирали, можно только надеяться, что Иоганн не встретил скульптора на том свете.

На надгробии Якоба Бернулли была высечена не логарифмическая спираль, а спираль Архимеда (см. нижнюю часть иллюстрации), в которой расстояние между витками одинаково.

Логарифмическая спираль не имеет ни начала, ни конца. В природе она встречается в приближенном виде — спираль ураганов и некоторых галактик.

Тем временем выдающиеся математики из разных государств Европы (в особенности Германии и стран, находившихся под ее культурным влиянием), работавшие в то время в России, плели целую сеть, чтобы поймать в нее многообещающего молодого ученого. Одним из них был Кристиан Гольдбах (1690— 1764), с которым Эйлер вел переписку уже на протяжении нескольких лет и о котором мы поговорим позже.